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標題: 通用伽瑪分布 [打印本頁]

作者: hlperng    時間: 2015-4-13 08:50:08     標題: 通用伽瑪分布

本帖最後由 hlperng 於 2020-8-18 13:00 編輯

壽命或失效發生時間是研究可靠度問題常用的隨機變數,由於 T ≥ 0 或 X ≥ 0 的特質,指數分布、伽瑪分布、韋伯分布、卡分布、瑞雷分布、馬克斯威爾分布、對數常態分布等單變數機率分布,常用來描述或處理此類問題。若是碰到複雜的個案問題,其誤差可能較大,據以所作的決策爭議較多。
上述非負數單變數機率分布,在工程與物理上的應用大致可分為幾類:

對於微電路產品的壽命與可靠度議題,早期以對數常態分布為主,近年來隨著科技進步、產品複雜度增加,越來越多選擇使用韋伯分布,此一現象可從近幾年 JEDEC 對於 JEP-122 的改版趨勢看出端倪。

對數常態分布與韋伯分布各有其數學與物理的理論基礎,而通用伽瑪分布似乎可以含蓋這兩種分布,也就是說改變伽瑪分布的參數值,可以推導出對數常態分布或韋伯分布。

通用伽瑪分布為三個參數機率分布,包括一個尺度參數 λ 或 η、兩個形狀 β 及 κ。

通用伽瑪分布的機率密度函數可以寫為:

[tex]f(x| \lambda, \kappa, \beta) = \frac{\beta \lambda}{\Gamma(\kappa)} \left( \lambda x \right)^{\kappa \beta -1} exp \left( -\left(\lambda x \right)^\beta \right) [/tex]



[tex]f(x| \eta, \kappa, \beta) = \frac{\beta}{\eta \Gamma(\kappa)} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{\kappa \beta -1} exp \left( - \left( \frac{x}{\eta} \right)^\beta \right) [/tex]

其中 Γ(κ) 為伽瑪函數:

[tex]\Gamma(\kappa) =\int_0^\infty x^{\kappa - 1}e^{-x} dx[/tex]。

指數分布、伽瑪分布、韋伯分布、卡分布、瑞雷分布、馬克斯威爾等機率分布,可以直接從機率分布參數簡單的關係,推導出這些機率分布都是三個參數通用伽瑪分布的特例,其關係如下表所示:

分布λκβ
通用伽瑪分布λκβ
伽瑪分布λκ1
韋伯分布λ1β
指數分布λ11
卡方分布1/2r/21
瑞雷分布1/(η √(2))12
馬克斯威爾分布1/(η √(2))3/22








至於對數常態分布與通用伽瑪分布的關係,就要經過較為複雜的變數轉換數學過程,假設三個新的參數 ε、μ、σ 與原有三個參數 λ、κ、β 之間的轉換關係為:

[tex]\epsilon =\frac{1}{\sqrt{\kappa}}[/tex]

[tex]\kappa = \frac{1}{\epsilon^2} [/tex]

[tex]\sigma = \frac{\epsilon}{\beta}=\frac{1}{\beta \sqrt{\kappa}} [/tex]

[tex]\mu = ln \left(\frac{1}{\lambda} \right) + \frac{1}{\beta} ln \left( \frac{1}{\epsilon^2} \right) = ln\left(\frac{1}{\lambda}\right)+\frac{1}{\beta} ln\left( \kappa\right) [/tex]

經過數學處理後,得到以新的參數 (μ, σ, κ) 或 (μ σ, ε) 描述的機率密度函數的表達式。

當 ε ≠ 0,通用伽瑪分布的機率密度函數變成:

[tex]f(x|\mu, \sigma, \kappa) = \frac{1}{x |\sqrt{\kappa}| \sigma} \frac{1}{\Gamma (\kappa)} exp \left( \sqrt{\kappa} \frac{ln(x)-\mu}{\sigma}+\kappa ln(\kappa) - \kappa exp \left( \frac{1}{\sqrt{\kappa}} \frac{ln(x) -\mu}{\sigma} \right) \right)[/tex]

[tex]f(x|\mu, \sigma, \epsilon) = \frac{|\epsilon|}{x \sigma} \frac{1}{\Gamma (1/\epsilon^2)} exp \left( \frac{1}{\epsilon} \frac{ln(x)-\mu}{\sigma} + \frac{1}{\epsilon^2} ln \left( \frac{1}{\epsilon^2} \right) - \frac{1}{\epsilon^2} exp \left( \epsilon \frac{ln(x)-\mu}{\sigma} \right) \right)[/tex]

而當 ε=0 時(亦即 κ 很大時,或 κ ∼ ∞),通用伽瑪分布變成對數常態分布,其機率密度函數為:

[tex]f(x|\mu, \sigma) = \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}} exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{ln(x)-\mu}{\sigma}\right)^2 \right)[/tex]

此上述說明,兩個參數的對數常態分布與韋伯分布,是三參數通用伽瑪分布的特例。至於選擇對數常態分布、韋伯分布、或是通用伽瑪分布,那就要看如何解決問題與作合理的決策判斷。







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