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標題: 通用伽瑪分布 [打印本頁]

作者: hlperng 時間: 2015-4-13 08:50:08 標題: 通用伽瑪分布

本帖最後由 hlperng 於 2020-8-18 13:00 編輯

壽命或失效發生時間是研究可靠度問題常用的隨機變數，由於 T ≥ 0 或 X ≥ 0 的特質，指數分布、伽瑪分布、韋伯分布、卡分布、瑞雷分布、馬克斯威爾分布、對數常態分布等單變數機率分布，常用來描述或處理此類問題。若是碰到複雜的個案問題，其誤差可能較大，據以所作的決策爭議較多。
上述非負數單變數機率分布，在工程與物理上的應用大致可分為幾類：

指數分布與伽瑪分布：常用於時間問題，指數分布隨機變數相加得到的和的分布是伽瑪分布，個別失效發生時間時間符合指數分布，累積失效發生時間（和）符合伽瑪分部，常用於處理壽命試驗的資料分析。
韋伯分布：有界限極小值分布，由極小值主導整個問題，例如系統中，最小壽命元件失效、不管其他元件如何，整個系統也失效。
對數常態分布：具有乘法性，例如影響壽命的物理因素符合對數常態分布、且這些因素之間為乘法關係，則壽命也是對數常態分布，只要瞭解對數常態分布的技法，就可以解決問題。
卡分布、瑞雷分布、馬克斯威爾分布：常用於描述一度空間、二度空間（平面）、或三度空間（球體），空間分量為常態分布，距離定點（圓心）的偏心距的隨機變數。

對於微電路產品的壽命與可靠度議題，早期以對數常態分布為主，近年來隨著科技進步、產品複雜度增加，越來越多選擇使用韋伯分布，此一現象可從近幾年 JEDEC 對於 JEP-122 的改版趨勢看出端倪。

對數常態分布與韋伯分布各有其數學與物理的理論基礎，而通用伽瑪分布似乎可以含蓋這兩種分布，也就是說改變伽瑪分布的參數值，可以推導出對數常態分布或韋伯分布。

通用伽瑪分布為三個參數機率分布，包括一個尺度參數 λ 或 η、兩個形狀 β 及 κ。

通用伽瑪分布的機率密度函數可以寫為：

[tex]f(x| \lambda, \kappa, \beta) = \frac{\beta \lambda}{\Gamma(\kappa)} \left( \lambda x \right)^{\kappa \beta -1} exp \left( -\left(\lambda x \right)^\beta \right) [/tex]

或

[tex]f(x| \eta, \kappa, \beta) = \frac{\beta}{\eta \Gamma(\kappa)} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{\kappa \beta -1} exp \left( - \left( \frac{x}{\eta} \right)^\beta \right) [/tex]

其中 Γ(κ) 為伽瑪函數：

[tex]\Gamma(\kappa) =\int_0^\infty x^{\kappa - 1}e^{-x} dx[/tex]。

指數分布、伽瑪分布、韋伯分布、卡分布、瑞雷分布、馬克斯威爾等機率分布，可以直接從機率分布參數簡單的關係，推導出這些機率分布都是三個參數通用伽瑪分布的特例，其關係如下表所示：

分布	λ	κ	β
通用伽瑪分布	λ	κ	β
伽瑪分布	λ	κ	1
韋伯分布	λ	1	β
指數分布	λ	1	1
卡方分布	1/2	r/2	1
瑞雷分布	1/(η √(2))	1	2
馬克斯威爾分布	1/(η √(2))	3/2	2

至於對數常態分布與通用伽瑪分布的關係，就要經過較為複雜的變數轉換數學過程，假設三個新的參數 ε、μ、σ 與原有三個參數 λ、κ、β 之間的轉換關係為：

[tex]\epsilon =\frac{1}{\sqrt{\kappa}}[/tex]

[tex]\kappa = \frac{1}{\epsilon^2} [/tex]

[tex]\sigma = \frac{\epsilon}{\beta}=\frac{1}{\beta \sqrt{\kappa}} [/tex]

[tex]\mu = ln \left(\frac{1}{\lambda} \right) + \frac{1}{\beta} ln \left( \frac{1}{\epsilon^2} \right) = ln\left(\frac{1}{\lambda}\right)+\frac{1}{\beta} ln\left( \kappa\right) [/tex]

經過數學處理後，得到以新的參數 (μ, σ, κ) 或 (μ σ, ε) 描述的機率密度函數的表達式。

當 ε ≠ 0，通用伽瑪分布的機率密度函數變成：

[tex]f(x|\mu, \sigma, \kappa) = \frac{1}{x |\sqrt{\kappa}| \sigma} \frac{1}{\Gamma (\kappa)} exp \left( \sqrt{\kappa} \frac{ln(x)-\mu}{\sigma}+\kappa ln(\kappa) - \kappa exp \left( \frac{1}{\sqrt{\kappa}} \frac{ln(x) -\mu}{\sigma} \right) \right)[/tex]

[tex]f(x|\mu, \sigma, \epsilon) = \frac{|\epsilon|}{x \sigma} \frac{1}{\Gamma (1/\epsilon^2)} exp \left( \frac{1}{\epsilon} \frac{ln(x)-\mu}{\sigma} + \frac{1}{\epsilon^2} ln \left( \frac{1}{\epsilon^2} \right) - \frac{1}{\epsilon^2} exp \left( \epsilon \frac{ln(x)-\mu}{\sigma} \right) \right)[/tex]

而當 ε=0 時（亦即 κ 很大時，或 κ ∼ ∞），通用伽瑪分布變成對數常態分布，其機率密度函數為：

[tex]f(x|\mu, \sigma) = \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}} exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{ln(x)-\mu}{\sigma}\right)^2 \right)[/tex]

此上述說明，兩個參數的對數常態分布與韋伯分布，是三參數通用伽瑪分布的特例。至於選擇對數常態分布、韋伯分布、或是通用伽瑪分布，那就要看如何解決問題與作合理的決策判斷。

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