參數、動差與統計量：機率統計分析時容易混淆造成困擾的三個數

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在應用機率與統計等數學理論進行品質、可靠度、安全性、或其他工程分析時，伴隨著每一個機率分佈有三個數量或多或少會造成困擾：參數 (parameters)、動差 (moments) 與統計量 (statistics)。這三者之中，參數是直接顯示在數學函數中、動差與統計量則是必須經過計算才能得到，三者之間彼此存在著某種因果關係，為有效釐清其目的，有必要清楚地予以認知與識別，可方便後續溝通與應用。

參數是機率分佈函數的特性值，為構成機率分佈函數的項目，直接從公式可以找到與確認，參數說明機率分佈的特性，常用的有位置參數 (location parameter)、尺度參數 (scale parameter) 與 形狀參數(shape parameter)，利用它們與隨機變數的關係可以識別，例如位置參數與隨機變數為加減關係、通常代表分佈的最可能值、最小值或最大值，尺度參數與隨機變數為乘除關係，形狀參數與隨機變數為冪方或開冪方關係。

動差是特定函數的期望值，必須經過數學（微積分）計算才得到的數，分為原點動差 (moments about origin) 與中心動差 (moments about center)，有階層關係，常用的為一階動差與二階動差。

統計量為根據樣本觀測數據經過數學（算術）計算得到的數量，常用的為樣本平均數 (sample mean) 與樣本標準誤差 (sample standard error)。

常態分佈有兩個參數，分別為位置參數 μ 及尺度參數 σ，一般卻稱位置參數為平均數、尺度參數為標準偏差；指數分佈有一個參數，尺度參數 λ；對數常態分佈有兩個參數，尺度參數 μ_Y、形狀參數 σ_Y；常用的韋伯分佈有兩個參數，尺度參數 η、形狀參數 β，偶而會出現第三個參數，位置參數 γ。

已知機率分佈的機率密度函數為 f(x) ，- ∞ < x < + ∞ ，則 k 階原點動差 (μ_k) 及 k 中心動差 (η_k) 的定義分別為：





當 k = 1 時，為一階原點動差，μ₁ ，一般又稱為平均數 (mean)：



而 k = 2 的二階中心動差 ，η₂ ，稱為變異數 (variance)：



變異數開根數為標準偏差 σ：



常用的統計量有樣本平均數 ，樣本變異數 s² ，或樣本標準誤差 (standard error) ，s，分別為：







由上三式可知，統計量與機率分佈無關，純粹可以根據樣本觀測值或量測值計算得到。
常態分佈有兩個參數：μ 為位置參數、σ 為尺度參數：



但是一般在應用時，大多稱 μ 為平均數 (mean)、稱 σ 為標準偏差 (standard deviation)。

事實上，常態分佈的一階原點動差 μ₁ 等於位置參數 μ，標準偏差等於尺度參數 σ。

描述機率分佈時，要用參數；動差則是隨機變數代表性的數，根據機率分佈的定義，依照期望值的定義計算得到的。

機率分佈	機率密度函數	位置參數	尺度參數	形狀參數	平均數	標準偏差
常態分佈		μ	σ	-	μ	σ
對數常態分佈			μY	σY
指數分佈		-	λ	-
韋伯分佈			η	β