壽命或失效發生時間機率分佈的表示法

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在可靠度領域裡，有很多機率分佈可以作為描述壽命或失效發生時間的隨機特性，常見的有指數分佈 (exponential)、韋伯分佈 (Weibull)、伽瑪分佈 (Gamma)、對數常態 (log-normal) 分佈等四種，這些分佈屬於計時或打點型 (pointing) 過程隨機變數的波桑家族機率分佈。波桑家族機率分佈，包括指數分佈、歐郎分佈 (Erlang)、伽瑪分佈、波桑分佈 (Poisson) 等，此一家族討論在選定時間內有興趣的對象會發生幾次，當失效發生強度會隨時間變化時，則延伸到韋伯分佈（非均質波桑過程）。 每一種機率分佈各有其用途與目的，早期 AGREE 處理電子產品可靠度問題時，假設壽命或失效發生時間為常態分佈，壽命或可靠度試驗數據分析時使用伽瑪分佈（或是實際計算時常用的卡方分佈），半導體產業通常假設積體電路的壽命為對數常態分佈，而機械業者認為壽命或失效發生時間可以用韋伯分佈表示。四個常用的壽命或失效時間分佈中，從數學之間的關係，加上由物理科學（零件）、工程技術（組裝）、工程管理（系統設備產品）、驗證確認（管理運維）的系統工程及生命週期觀點，依次為對數常態分佈、韋伯分佈、指數分佈、伽瑪分佈，其間關係的知識地圖說明如下表。

	對數常態分佈 lognormal distribution	韋伯分佈 Weibull distribution	指數分佈 exponential distribution	伽瑪分佈 gamma distribution
參數	μ: 尺度參數 σ: 形狀參數	η: 尺度參數 β: 形狀參數	λ: 尺度參數	λ: 尺度參數 κ: 形狀參數
失效率函數	(複雜公式)
平均數
特徵數
特性	形狀參數 σ 愈大、分佈愈寬。 ρ = 變異係數 σ ≈ 0.1，對數常態近似常態。 隨機變數有乘法性，對數常態分佈隨機變數的乘或除結果所得到的隨機變數也是對數常態分佈。	形狀參數 β 愈大、分佈愈窄。 令 ，則 t' 為指數分佈。 β = 1 時為指數分佈。 β ≈ 4.0，韋伯近似常態。 當在可靠度領域應用韋伯分布時，若 β 大於 4 以上時，應小心檢討，或許是存在著位置參數，考慮使用三參數韋伯分布。	尺度參數（表示失效率時）有加法性。	形狀參數 κ 愈大、分佈愈寬。當 κ=1 時，伽瑪分布變成指數分布，當 κ ≈ 30，伽瑪近似常態。 伽瑪隨機變數有加法性，伽瑪分佈隨機變數的相加結果所得到的隨機變數也是伽瑪分佈。 在壽命試驗應用，κ 相當於累加的失效發生次數。
應用	物理科學 零件 單一失效模式 半導體產品	工程技術 組裝件 實體失效模式(多重)  機械產品 電子元件	營運管理 系統 功能失效模式 電子產品(設備)	驗證保證 系統設備 壽命試驗 現場操作 抽樣推論(推定與檢定)

對數常態分布的機率密度函數為： 

 (1)

Source: JEDEC JEP-122G

圖 (1)：對數常態分布

韋伯分佈的機率密度函數為 ： 

 (2a)

(2b)

Source: JEDEC JEP-122G

圖 (2)：韋伯分佈

指數分布的機率密度函數為：

(3)

圖 (3)：指數分布

伽瑪分布的機率密度函數為：

  (4)

圖 (4)：伽瑪分布

 

在尺度參數相同的情況下，韋伯分佈有乘法性，亦即韋伯分佈串聯之後也是韋伯分佈。

指數分佈是韋伯分佈的特例，當韋伯分佈的形狀參數 β = 1 時，韋伯分佈變成指數分佈。美軍可靠度試驗標準 MIL-STD-781，就是以指數分佈作為軍用系統設備的壽命或失效時間分佈，主要是因為指數分佈簡單、易懂，且頗符合電子產品的失效時間或壽命的特性。 

伽瑪分佈是 κ 個指數分佈隨機變數加總之後的新隨機變數的機率分佈，伽瑪分佈的隨機變數有加法性。當 κ=1，伽瑪分佈變成指數分佈，指數分佈為伽瑪分佈的特例。伽瑪分佈經過適當的轉換（λ=1/2、且 κ=ν/2）處理後，變成形狀參數（或自由度）為 ν 的卡方分佈。因此，伽瑪分佈適合於描述壽命試驗的機率分佈，伽瑪分佈的形狀參數 κ 為整數時，相當於累積 κ 次指數分布失效發生時間的壽命試驗總時間 T 為伽瑪分布，ν=2κ ，意謂著卡方分布自由度 ν 為伽瑪分布形狀參數 κ 的兩倍，，亦即可以解釋為失效發生次數 r 的兩倍為卡方分布，或失效發生次數為卡方分布的一半的應用可能。同理，利用卡方分佈，可以解釋或判斷試驗數據是否有太大或太小的離群數，計算尺度參數失效率 λ 的信心區間推定值，或者檢定樣本失效率與假設失效率真值是否相同。

伽瑪分佈可以用下述兩種數學表達方式： 

其中：

 

重點是如何解釋與應用這兩種數學式子及所要描述或解釋的問題。當 t 為失效時間或壽命時，單位為小時 (hr)，第一種寫法的尺度參數 λ 為失效強度，單位為小時^{- 1} (fr/hr)；第二種寫法的尺度參數 η 為特徵壽命，單位為小時 (hr)。失效強度表示造成物品失效的量化根源，特徵壽命表示 63.2 % 物品失效的時間點。

失效率是從底層、微觀、根源、工程技術的角度，描述、觀察、與處理物品的可靠度，屬於物品的內在 (intrinsic) 特性；特徵壽命是從表面、宏觀、結果、驗證保證的角度，描述、觀察、與處理物品的可靠度。失效率與特徵壽命兩者之間有互為因果的關係，但是在應用上有其個別的目的與特色。

失效率根據壽命試驗結果推論出來的，從機率理論觀點，樣本失效率也是隨機變數，所以 2006 年 Telcordia 發佈 SR 332 電子設備可靠度預估程序時，假設電子零件的失效率為伽瑪分布，而且每一種電子零件的失效率都提供平均值與標準差兩組資料。

指數分佈既是伽瑪分佈的特例，也是韋伯分佈的特例，那麼韋伯分佈與伽瑪分佈有沒有關係，若有的話又是什麼關係？關鍵在於韋伯分佈與伽瑪分佈應用兩個數學的特性，在可靠度領域時對可靠度的解釋有何幫助。  

美國主導半導體裝置研發與製造的電子產業協會 (EIA)（後來獨立成為 JEDEC），早期認定半導體的壽命分佈為對數常態分佈，最近則有建議採韋伯分佈的趨勢 (Section 5.19 Reliability Distributions in JEDEC JEP-122G, 2011)。 電容器的壽命也假設符合韋伯分佈，可靠度等級為 B 級、C 級、D 級等，與傳統假設為指數分佈的 L 級、M 級、S 級有所區別。

數學是一種工具，可靠度工程就是以工程概念探討物品可靠度，只要符合可靠度的定義與工程邏輯、簡單易懂，最能協助描述事物的時間品質或時間性能，就是最佳解答。