單變數可靠度機率分佈函數之間的關連性

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由LEEMIS等人所發表之單變數可靠度機率分佈函數之間的關連圖

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在可靠度應用領域討論及說明單變數常用機率分布關係的論文有不少版本，依發表時間先後次序說明如下：

• 1977: T. Nakagawa and H. Yoda, Relationships among distributions, IEEE Transactions on Reliability, 26(5), 352-353.
• 1986: M.L. Leemis, "Reliationships among common univariate distributions", The American Statistician, 40(2), 143-146.
• 2004: J.W. Rider, "Probability Distributions".
• 2004: Wheymin Song, "Relationships among some univariate distributions", IIE Transaction (2005), 37, 651-656. (35 個及 25 個常用的機率分佈關係圖，桑慧敏教授)
• 2008: Lawrence M Leemis and Jacquelyn T. McQueston, "Teacher's Corner - Univariate Distribution Relationships", The American Statistician (2008), 62(1), 45-53.
• 2010: Yousry H. Abdelkader and Zainab A. Al-Marzouq, "Probability Distribution Relationships", International Journal of Basic and Applied Sciences IJBAS-IJENS (2010) 10(1), 76-88.
• 2011: Wheyming Tina Song and Yi-Chun Chen, "Eighty Univariate Distributions and Their Relationships Displayed in a Matrix Format", IEEE Trancsation on Automatic Control (2011), 56(8), 1979-1984.  (80 個及 25 個常用的機率分佈關係圖，桑慧敏教授)
  

1977 年 Toshio Nakagawa 與 Hiroshi Yoda 發表於 IEEE Transactions on Reliability 的論文 "Relationships Among Distributions", 說明各種常用單變數機率分布關係圖，重新繪製如下所示，其重點為說明分布與分布間的關係分為變數或參數的轉換關係、變數或參數的近似極限關係、及機率部分和的極限關係：


2004 年 J.W. Rider 教授發表的機率分布文章（詳見其個人網站, http://www.jwrider.com/），說明常用機率分布除依隨機變為整數或實數分為分立 (discrete) 與連續 (continuous) 兩類外，依隨機變數的領域 (domain) 分為無界限 (unbounded)、半界限 (semi-bounded) （例如壽命時間 t ≥  0）、及有界限 (bounded) 三類，Rider 教授以彩色工程流程圖的方式表達單變數常用機率分佈關係圖：



2008 年康乃爾大學 (Cornell University )電機與電腦工程學院 Prapun Suksompong 教授在其編寫的 "Introduction to Probability for Electrical Engineering" 教科書講義第 94 頁也有各種單變數常用機率分布的關係圖：



Suksompong 教授所提出的這張圖，雖然不是包含最多分佈的單變數機率分布關係圖，卻是工程上非常實用的機率分布之間關係圖，這張圖顯示的的特色與重點群聚包括：

• 說明二項分布 (binomial)、常態分布 (normal) 與波桑分布 (Poisson) 等三個機率分布之間的金三角關係，二項分布的尾端部分為稀有事件可以用波桑分布近似之，而二項分布接近平均數的部分根據大數法則可以用常態分布近似之。
• 常態分布、二項分布、波桑分布三者可以衍生分別代表走動 (walking)、計數 (counting)、計時 (pointing) 三種過程，稱之為機率分布三大家族 (group families)，加上因為抽樣所衍生的抽樣分布家族，常態家族、二項家族、波桑家族、抽樣家族合稱機率分布四大家族。
• 說明計量或走動型(walking)過程隨機變數的常態家族機率分布，包括常態分布 (normal)、對數常態分布 (lognormal)、歌西分布 (Cauchy)，此家族重要的分布還有卡分布 (Chi)、瑞雷分布 (Rayleigh)、馬克斯威爾 (Maxwell) 等，此一家族討論有興趣的對象偏離標稱值的程度為多少。
• 說明計數型 (counting) 過程隨機變數的二項家族機率分布，包括伯努利分布 (Bernoulli)、二項分布 (binomial)、幾何分布 (geometric)、負二項分布 (negative binomial) 等，超幾何分布也是計數型分布之一，此一家族討論在總樣本 n 中有興趣的對象會有多少個。
• 說明計時或打點型 (pointing) 過程隨機變數的波桑家族機率分布，包括指數分布 (exponential)、歐郎分布 (Erlang)、伽瑪分布 (Gamma)、波桑分布 (Poisson) 等，此一家族討論在選定時間內有興趣的對象會發生幾次，當發生強度隨時間變化時，則延伸到韋伯分布（非均質波桑過程）。
• 由機率分布參數的抽樣推論所構成的抽樣家族機率分布，包括司徒登 t 分布 (Student t)、費雪 F 分布 (Fisher F)、卡方分布 (chi-sqaure)、伽瑪分布 (gamma)、貝他分布 (beta) 等，抽樣分布通常代表著兩個隨機變數或其參數之間關係的倍數或個數，例如 n 個常態分布的平方和為卡方分布，樣本平均數 x̄ 與樣本平均數標準差 S 的比值 (x̄/S) 為司徒登 t 分布，群體變異數 (S²) 與樣本平均數變異數 [σ²/(n-1)] 的比值 [S²/(σ²/(n-1)] 為卡方分布，r 個指數分布和（等於伽瑪分布）的兩倍為卡方分佈，一定時間發生的失效數 (r) 或成功數 (s) 為伽瑪分布，失效數 (r) 與成功數 (s) 的比值 (r/s) 為費雪 F 分布，失效數 (r) 與失效數及成功數和 (r+s) 的比數 [r/(r+s)] 為貝他分布，不良率為一個卡方分布與兩個卡方分布的比值。而伽瑪分布會收斂為卡方分布，所以大部分的抽樣分布都可以用卡方分布表示。
• 常態（離差）、二項（個數）、與指數（次數）三個常用工程機率分布，隨機變數與參數間的共軛關係：群體為常態分布時，常態位置參數（平均數  μ）為常態分布；群體為二項分布時，二項形狀參數（不良率 p）為貝他分布；群體為指數分布時，指數形狀參數（失效率  λ）為伽瑪分布。
  

這些情形可以進一步詮釋如下圖所示：